数列 \( \{ x_n \}, \{y_n \} \) を次の式
\begin{eqnarray}
&& x_1=0, x_{n+1}=x_n+n+2\cos \left( \frac{2\pi x_n}{3} \right) \ \ (n=1,2,3,\cdots) \\
&& y_{3m+1}=3m, \ y_{3m+2}=3m+2, \ y_{3m+3}=3m+4 \ \ (m=0,1,2,\cdots) \\
\end{eqnarray}
により定める。このとき、数列 \( \{ x_n – y_n \} \) の一般項を求めよ。
【解説】
本問では、\( \displaystyle \cos \left( \frac{2\pi x_n}{3} \right) \) のとり得る値が問題です。\( x_n \) を \( 3 \) で割ったときの余りで値が決まりますね。まずは実験してみましょう。
\begin{eqnarray}
x_1 &=& 0 \\
x_2 &=& x_1+1+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_1 \right) \\
&=& 0+1+2\cos 0 = 3 \equiv 0 (\mod3) \\
x_3 &=& x_2+2+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_2 \right) \\
&=& 3+2+2\cos 2\pi = 7 \equiv 1 (\mod3) \\
x_4 &=& x_3+3+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_3 \right) \\
&=& 7+3+2\cos \frac{14\pi}{3} = 10+2\cos \frac{2\pi}{3} = 9 \equiv 0 (\mod3) \\
x_5 &=& x_4+4+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_4 \right) \\
&=& 9+4+2\cos \frac{18\pi}{3} = 13+2\cos 0 = 15 \equiv 0 (\mod3) \\
x_6 &=& x_5+5+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_5 \right) \\
&=& 15+5+2\cos \frac{30\pi}{3} = 20+2\cos 0 = 22 \equiv 1 (\mod3) \\
\cdots && \\
\end{eqnarray}
となり、以下のように予想されます。
\begin{eqnarray}
x_{3m+1} &\equiv& 0 (\mod3) \\
x_{3m+2} &\equiv& 0 (\mod3) \\
x_{3m+3} &\equiv& 1 (\mod3) \\
\end{eqnarray}
これを数学的帰納法で証明しましょう。
【解答】
「\( x_{3m+1},x_{3m+2},x_{3m+3} \) を \( 3 \) で割ったときの余りは、それぞれ \( 0,0,1 \) となる \( (m=0,1,2,\cdots ) \) 」…（※）
（※）が成り立つことを数学的帰納法で証明する。
（Ⅰ）\( m=0 \) のとき
\begin{eqnarray}
x_1 &=& 0 \\
x_2 &=& x_1+1+2\cos \left( \frac{2\pi}{3}x_1 \right) = 3 \equiv 0 \\
x_3 &=& x_2+2+2\cos \left( \frac{2\pi}{3}x_2 \right) = 7 \equiv 1 \\
\end{eqnarray}
となり、（※）は成り立つ。
（Ⅱ）\( m=k \) のとき（※）が成り立つと仮定すると、
\begin{eqnarray}
x_{3k+1} &=& 3p \\
x_{3k+2} &=& 3q \\
x_{3k+3} &=& 3r+1
\end{eqnarray}
となる。ただし、\( p,q,r \) は整数とする。
\begin{eqnarray}
x_{3k+4} &=& x_{3k+3}+(3k+3)+2\cos\left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_{3k+3} \right) \\
&=& (3r+1)+(3k+3)+2\cos\left( \frac{2\pi}{3} \cdot (3r+1) \right) \\
&=& (3r+1)+(3k+3)+2\cos \frac{2\pi}{3} \\
&=& 3r+3k+3 \\
&=& 3(r+k+1) \\
&=& 3 p^{\prime} \ ( ただし p^{\prime}=r+k+1 ) \\
x_{3k+5} &=& x_{3k+4}+(3k+4)+2\cos\left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_{3k+4} \right) \\
&=& 3p^{\prime}+(3k+4)+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot 3p^{\prime} \right) \\
&=& 3p^{\prime}+(3k+4)+2 \\
&=& 3(p^{\prime}+k+2) \\
&=& 3q^{\prime} \ ( ただし q^{\prime}=p^{\prime}+k+2) \\
x_{3k+6} &=& x_{3k+5}+(3k+5)+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_{3k+5} \right) \\
&=& 3q^{\prime}+(3k+5)+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot 3q^{\prime} \right) \\
&=& 3q^{\prime}+(3k+5)+2 \\
&=& 3(q^{\prime}+k+2)+1 \\
&=& 3r^{\prime}+1 \ ( ただし r^{\prime}=q^{\prime}+k+2 ) \\
\end{eqnarray}
よって、\( m=k+1 \) のときも（※）が成り立つ。
（Ⅰ）（Ⅱ）より、\( m=0,1,2,\cdots \) に対して（※）が成り立つ。
（※）の結果より
\begin{eqnarray}
x_{3m+2} &=& x_{3m+1}+(3m+1)+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_{3m+1} \right) \\
&=& x_{3m+1}+(3m+1)+2 \\
&=& x_{3m+1}+3m+3 \\
x_{3m+3} &=& x_{3m+2}+(3m+2)+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_{3m+2} \right) \\
&=& x_{3m+2}+(3m+2)+2 \\
&=& x_{3m+2}+3m+4 \\
x_{3m+4} &=& x_{3m+3}+(3m+3)+2\cos \left( \frac{2\pi}{3} \cdot x_{3m+3} \right) \\
&=& x_{3m+3}+(3m+3)-1 \\
&=& x_{3m+3}+3m+2 \\
\end{eqnarray}
また
\begin{eqnarray}
y_{3m+2} &=& 3m+2 \\
&=& y_{3m+1}+2 \\
y_{3m+3} &=& 3m+4 \\
&=& (3m+2)+2 \\
&=& y_{3m+2}+2 \\
y_{3m+4} &=& y_{3(m+1)+1} \\
&=& 3(m+1) \\
&=& (3m+4)-1 \\
&=& y_{3m+3}-1
\end{eqnarray}
となるので、\( z_n = x_n – y_n \) とおくと、
\begin{eqnarray}
z_{3m+2} &=& x_{3m+2} – y_{3m+2} \\
&=& ( x_{3m+1}+3m+3 ) – ( y_{3m+1}+2) \\
&=& x_{3m+1}-y_{3m+1}+(3m+1) \\
&=& z_{3m+1}+(3m+1) \\
z_{3m+3} &=& x_{3m+3} – y_{3m+3} \\
&=& ( x_{3m+2}+3m+4 ) – ( y_{3m+2}+2 ) \\
&=& x_{3m+2}-y_{3m+2}+(3m+2) \\
&=& z_{3m+2}+(3m+2) \\
z_{3m+4} &=& x_{3m+4} – y_{3m+4} \\
&=& ( x_{3m+3}+3m+2 ) – ( y_{3m+3}-1 ) \\
&=& x_{3m+3}-y_{3m+3}+(3m+3) \\
&=& z_{3m+3}+(3m+3) \\
\end{eqnarray}
となる。よって、
\begin{equation}
z_{n+1} = z_n+ n \ ( n=1,2,3,\cdots ) \\
z_{n+1} – z_n = n
\end{equation}
\begin{eqnarray}
z_n &=& z_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k \ ( n \ge 2 ) \\
&=& x_1 – y_1 + \frac{1}{2}n(n-1) \\
&=& \frac{1}{2}n(n-1) \cdots ① \\
\end{eqnarray}
ここで
$$ z_1 = x_1 – y_1 = 0 $$
であり、①は \( n=1 \) のときも成り立つ。よって、
$$ z_n = \frac{1}{2}n(n-1) \ ( n=1,2,3,\cdots) $$
となり、\( \{ x_n – y_n \} \) は \( \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1) \) …（答）
