【問題】三角関数（積和の公式／加法定理）（2013年千葉大（理工））

【解説】

シンプルな問題ですが、実際に計算してみるとうまく証明できません。ここでは2通りの解法を示します。1つは \( \tan \) を \( \sin, \cos \) を使って表し、積和の公式を使う方法です。もう1つは加法定理を使って、\( \tan 20^{\circ}, \tan 30^{\circ}, \tan 40^{\circ} \) を \( \tan 10^{\circ} \) を使って表します。\( \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) ですが、\( \tan 30^{\circ} \) も \( \tan 10^{\circ} \) を使って表現しないと証明できません。
以下に積和の公式を示します。加法定理から計算できるようにして覚えましょう。

【解答】

\begin{eqnarray}
&& \frac{\tan20^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ} \cdot \tan 40^{\circ}}{\tan 10^{\circ}} \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}} \cdot \frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin 40^{\circ} \cdot \sin 20^{\circ}}{\cos 40^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}} \cdot \frac{\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{- \frac{1}{2} ( \cos 60^{\circ} – \cos 20^{\circ} ) }{\frac{1}{2} ( \cos 60^{\circ} + \cos 20^{\circ} )} \cdot \frac{\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos 20^{\circ} – \frac{1}{2} }{\cos 20^{\circ} + \frac{1}{2} } \cdot \frac{\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2 \cos 20^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} – \cos 10^{\circ} }{2 \cos 20^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ} + \sin 10^{\circ} } \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2 \cdot \frac{1}{2}( \cos 30^{\circ} + \cos 10^{\circ} ) – \cos 10^{\circ} }{2 \cdot \frac{1}{2}( \sin 30^{\circ} – \sin 10^{\circ} ) + \sin 10^{\circ} } \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \\
&& = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} \\
&& = 1 \\
&& ∴\tan 10^{\circ} = \tan20^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ} \cdot \tan 40^{\circ}　（証明終了）
\end{eqnarray}

【別解】

\( \tan 10^{\circ} = t \) とおくと、
\begin{eqnarray}
\tan 20^{\circ} &=& \tan ( 30^{\circ} – 10^{\circ} ) \\
&=& \frac{\tan 30^{\circ} – \tan 10^{\circ} }{1 + \tan 30^{\circ} \cdot \tan 10^{\circ}} \\
&=& \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}-t}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}t} \\
&=& \frac{1-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}+t} \cdots ① \\

\tan 40^{\circ} &=& \tan ( 30^{\circ} + 10^{\circ} ) \\
&=& \frac{\tan 30^{\circ} + \tan 10^{\circ} }{1 – \tan 30^{\circ} \cdot \tan 10^{\circ}} \\
&=& \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+t}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}t} \\
&=& \frac{1+\sqrt{3}t}{\sqrt{3}-t} \cdots ②
\end{eqnarray}
①②より
\begin{eqnarray}
\tan 20^{\circ} \cdot \tan 40^{\circ} &=& \frac{1-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}+t} \cdot \frac{1+\sqrt{3}t}{\sqrt{3}-t} \\
&=& \frac{1-3t^2}{3-t^2} \cdots ③
\end{eqnarray}
また
\begin{eqnarray}
\tan 20^{\circ} &=& \frac{2 \tan 10^{\circ}}{1-\tan^2 10^{\circ}} \\
&=& \frac{2t}{1-t^2} \ （2倍角）\\
\tan 30^{\circ} &=& \tan (20^{\circ}+10^{\circ}) \\
&=& \frac{\tan 20^{\circ} + \tan 10^{\circ}}{1- \tan 20^{\circ} \cdot \tan 10^{\circ}} \\
&=& \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t }{1- \frac{2t}{1-t^2} \cdot t } \\
&=& \frac{2t+t(1-t^2)}{(1-t^2)-2t^2} \\
&=& \frac{t(3-t^2)}{1-3t^2} \cdots ④ \ （3倍角）
\end{eqnarray}
③④より
\begin{eqnarray}
\tan20^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ} \cdot \tan 40^{\circ} &=& \frac{1-3t^2}{3-t^2} \cdot \frac{t(3-t^2)}{1-3t^2} \\
&=& t \\
&=& \tan 10^{\circ}　（証明終了）
\end{eqnarray}