数列 \( \{ p_n \} \) を次のように定める。
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle p_1=1, \ p_2=2, \ p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \ (n=1,2,3,\cdots)
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{array}{cl}
(1) & \displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_{n}^2+1}{p_{n+1}p_n} が n によらないことを示せ。\\
(2) & すべての n=2,3,4,\cdots に対し、p_{n+1}+p_{n-1} を p_n のみを使って表せ。\\
(3) & 数列 \{q_n\} を次のように定める。\\
& q_1=1, \ q_2=1, \ q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \ (n=1,2,3,\cdots) \\
& すべての n=1,2,3,\cdots に対し、p_n=q_{2n-1} を示せ。
\end{array}
\end{equation}
【解説】
数列の漸化式に関する問題です。誘導に従って順に導いていきましょう。（3）は計算が面倒ですが、ここでは特性方程式から一般項を求めてみました。
【解答】
(1) 求める式を \( I_n \) とおく
\begin{eqnarray}
I_{n+1} &=& \frac{p_{n+2}^2+p_{n+1}^2+1}{p_{n+2}p_{n+1}} \\
&=& \frac{p_n}{p_{n+1}^2+1} \cdot \frac{1}{p_{n+1}} \cdot \left\{ \frac{(p_{n+1}^2+1)^2}{p_n^2}+p_{n+1}^2+1 \right\} \\
&=& \frac{p_{n+1}^2+p_{n}^2+1}{p_{n+1}p_n} \\
&=& I_n
\end{eqnarray}
よって、\( I_{n+1} = I_n = \cdots = I_1\) となり、求める式は \( n \) の値にかかわらず一定となる。
(2)
\begin{eqnarray}
p_{n+1}+p_{n-1} &=& \frac{p_{n}^2+1}{p_{n-1}}+p_{n-1} \\
&=& \frac{p_{n}^2+p_{n-1}^2+1}{p_{n-1}} \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで (1) の結果から、
\begin{eqnarray}
I_{n-1} &=& \frac{p_{n}^2+p_{n-1}^2+1}{p_n p_{n-1}} \\
&=& I_1 \\
&=& \frac{p_2^2+p_1^2+1}{p_2 p_1} \\
&=& 3
\end{eqnarray}
となるので、
$$ p_{n}^2+p_{n-1}^2+1 = 3 p_n p_{n-1} \cdots ② $$
②を①に代入すると
\begin{eqnarray}
p_{n+1}+p_{n-1} &=& \frac{3 p_n p_{n-1}}{p_{n-1}} \\
&=& 3 p_n \cdots （答）
\end{eqnarray}
(3) (2)の結果から
\begin{equation}
p_{n+1}-3p_n+p_{n-1} = 0 \\
∴p_{n+2}-3p_{n+1}+p_n = 0 \cdots ③
\end{equation}
ここで \( \{ p_n \} \) の一般項を求める。③の特性方程式 \( x^2-3x+1=0 \) の2解を \( \alpha, \beta ( \alpha > \beta ) \) とすると
\begin{eqnarray}
p_{n+2} – \alpha p_{n+1} &=& \beta ( p_{n+1} – \alpha p_{n} ) \\
&=& \cdots \\
&=& \beta^n ( p_2 – \alpha p_1 ) \\
&=& \beta^n ( 2 – \alpha ) \cdots ④\\[10pt]
p_{n+2} – \beta p_{n+1} &=& \alpha ( p_{n+1} – \beta p_{n} ) \\
&=& \cdots \\
&=& \alpha^n ( p_2 – \beta p_1 ) \\
&=& \alpha^n ( 2 – \beta ) \cdots ⑤ \\
\end{eqnarray}
④-⑤より
\begin{equation}
(-\alpha+\beta) p_{n+1} = (2-\alpha)\beta^n-(2-\beta)\alpha^n \\
∴p_n = \frac{2-\beta}{\alpha-\beta}\alpha^{n-1} – \frac{2-\alpha}{\alpha-\beta}\beta^{n-1} \cdots ⑥
\end{equation}
ここで
$$ \alpha=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \ \beta=\frac{3-\sqrt{5}}{2} $$
だから
\begin{eqnarray}
\frac{2-\alpha}{\alpha-\beta} &=& \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 2-\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) \\
&=& \frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \\[10pt]
\frac{2-\beta}{\alpha-\beta} &=& \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 2-\frac{3-\sqrt{5}}{2} \right) \\
&=& \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5} } \\
\end{eqnarray}
よって⑥より
\begin{equation}
p_n = \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5} } \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}
-\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \cdots ⑦
\end{equation}
また題意より
$$ q_{n+2}-q_{n+1}-q_n=0 \cdots ⑧ $$
\( \{ q_n \} \) の一般項を求める。⑧の特性方程式 \( x^2-x-1=0 \) の2解を \( A, B ( A > B ) \) とすると
\begin{eqnarray}
q_{n+2} – A q_{n+1} &=& B ( q_{n+1} – A q_{n} ) \\
&=& B^n ( q_2 – A q_1 ) \\
&=& B^n ( 1 – A ) \cdots ⑨ \\[10pt]
q_{n+2} – B q_{n+1} &=& A ( q_{n+1} – B p_{n} ) \\
&=& A^n ( q_2 – B q_1 ) \\
&=& A^n ( q – B ) \cdots ⑩ \\
\end{eqnarray}
⑨-⑩より
\begin{equation}
(-A+B) q_{n+1} = (1-A)B^n-(1-B)A^n \\
∴q_n = \frac{1-B}{A-B}A^{n-1} – \frac{1-A}{A-B}A^{n-1} \cdots ⑪
\end{equation}
ここで
$$ A=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \ B=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $$
だから
\begin{eqnarray}
\frac{1-A}{A-B} &=& \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 1-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) \\
&=& \frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \\[10pt]
\frac{1-B}{A-B} &=& \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 1-\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right) \\
&=& \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5} } \\
\end{eqnarray}
よって⑪より
\begin{equation}
q_n = \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5} } \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}
-\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}\ \\[5pt]
∴q_{2n-1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5} } \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2n-2}
-\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{2n-2} \cdots ⑫
\end{equation}
ここで
\begin{eqnarray}
\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2n-2} &=& \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^2 \right\}^{n-1} \\
&=& \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \\
\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{2n-2} &=& \left\{ \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^2 \right\}^{n-1} \\
&=& \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \\
\end{eqnarray}
だから⑫より
\begin{eqnarray}
q_{2n-1} &=& \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5} } \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}
-\frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \\
&=& p_n （∵⑦）\\
\end{eqnarray}
よって \( p_n=q_{2n-1} \) となる（証明終了）。
