【問題】整数問題（2018年東北大学）

【解説】

整数問題として、有名な問題です。本問では誘導問題がありますので、うまく誘導に乗って解けるかがポイントです。整数問題を扱う場合、以下の方針で取り組むと良いでしょう。

【解答】

（１）　①より
\begin{equation}
3^a = 2^b+1 > 1 \\
∴a>0
\end{equation}
また①より
\begin{equation}
2^b = 3^a-1 \ge 3^1-1 = 2 \\
∴b \ge 1
\end{equation}
以上より、\( a,b \) ともに正となる（証明終了）

（２）①より
$$ 2^b = 3^a-1 $$
\( b>1 \) すなわち \( b \ge 2 \) だから、\( 2^b \) は \( 4 \) の倍数となるので、\( 3^a-1 \) も \( 4 \) の倍数とならなければならない。
ここで、\( b>1 \) すなわち \( b \ge 2 \) だから、\( 2^b \) は \( 4 \) の倍数となるので、\( 3^a-1 \) の \( \mod4 \) を考える。
\begin{eqnarray}
3^a -1 &=& (4-1)^a -1 \\
&\equiv& (-1)^a – 1 \\
&=& \left\{
\begin{array}{ll}
0 &（a：偶数）\\
-2 &（a：奇数）\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
となり、\( a \) は偶数でなければならない（証明終了）。

（３）
i) \( b=1 \) のとき、①より
\begin{equation}
3^a = 2^1+1 = 3 \\
∴a=1
\end{equation}

ii) \( b \ge 2 \) のとき、（２）より \( a \) は偶数となるので \( a=2k \) とおく。①より
\begin{equation}
3^{2k}-2^b=1 \\
3^{2k}-1=2^b \\
(3^k-1)(3^k+1) = 2^b \cdots ②
\end{equation}
②の右辺の素因数は \( 2 \) のみなので、\( 3^k-1, 3^k+1 \) は \( 1 \) または \( 2 \) 累乗となる。よって
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
3^k-1 = 2^l & \cdots ③ \\
3^k+1 = 2^{b-l} & \cdots ④
\end{array}
\right.
\end{equation}
④-③より
\begin{equation}
2^{b-l} – 2^l = 2 \\
2^l ( 2^{b-2l}-1 ) = 2
\end{equation}
\( 2^l, 2^{b-2l}-1 \) はいずれも整数で、\( 2^{b-2l}-1 \) は奇数だから、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
2^l=2 & \cdots ⑤ \\
2^{b-2l}-1=1 & \cdots ⑥ \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
⑤より \( l=1 \)、これを⑥に代入すると、
\begin{equation}
2^{b-2}-1=1 \\
2^{b-2}=2 \\
∴b-2=1 \\
b=3
\end{equation}
①より
\begin{equation}
3^a-2^3=1 \\
3^a = 9 \\
∴a=2
\end{equation}
i),ii)より
$$ (a,b) = (1,1), (2,3) \cdots （答） $$