\( P(0)=1, \ P(x+1)-P(x)=2x \) を満たす整式 \( P(x) \) を求めよ。
【解説】
\( P(x+1)-P(x) \) の式から \( P(x) \) の次数を決定できます。\( P(x) \) の次数を決定できれば、簡単に整式を求めることができます。
【解答】
\( P(x) \) を \( n \) 次式 \( ( n \ge 1 ) \)
$$ P(x) = ax^n+bx^{n-1}+ \cdots $$
とおくと、
\begin{eqnarray}
P(x+1) &=& a(x+1)^n + b(x+1)^{n-1} + \cdots \\
&=& a(x^n+ {}_n C_1 x^{n-1} + \cdots ) + b(x^{n-1}+\cdots)+\cdots \\
&=& ax^n+(na+b)x^{n-1}+\cdots \\
\end{eqnarray}
$$ ∴P(x+1) -P(x) = nax^{n-1}+ \cdots $$
となり、 \( P(x+1) -P(x) \) は \( n-1 \) 次式となる。\( P(x+1) -P(x) \) は \( 1 \) 次式だから、\( P(x) \) は \( 2 \) 次式となるので、
$$ P(x) = ax^2+bx+c \dots ① $$
とおける。
\( P(0)=1 \) だから①より
$$ c=1 $$
また①より
\begin{eqnarray}
P(x+1) &=& a(x+1)^2+b(x+1)+1 \\
&=& ax^2+(2a+b)x+a+b+1 \cdots ②
\end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray}
P(x+1)-P(x) &=& 2ax+a+b \\
&=& 2x
\end{eqnarray}
\( x \) の恒等式だから
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
2a=2 \\
a+b =0
\end{array}
\right.
\end{equation}
上記を解くと、\( a=1,b=-1\) となる。よって、
$$ P(x) = x^2-x+1 \cdots （答）$$
