\( p^2-q^2=210000 \) を満たす整数の組 \( (p,q) \) の個数を求めよ
【解説】
標準的な整数問題です。問題としては難しくありませんが、記述説明が難しいですね。\( p,q \) は整数ですので、負の値も取りうることを忘れないように注意しましょう。\( p+q,p-q \) が偶奇が一致するので解を絞ることができます。
【解答】
\begin{eqnarray}
p^2-q^2 &=& 210000 \\
(p+q)(p-q) &=& 3 \times 7 \times 2^4 \times 5^4 \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで
$$ p-q = (p+q)-2p = p+q-（偶数） $$
\( p+q \) が偶数のとき \( p-q \) も偶数、\( p+q \) が奇数のとき \( p-q \) も奇数となる。また①より \( p+q, p-q \) の積が偶数だから、\( p+q, p-q \) は偶数となる。よって
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
p+q = 2A \\
p-q = 2B \\
\end{array}
（A,B：整数）
\right.
\end{equation}
とおく。①より
\begin{eqnarray}
2A \cdot 2B &=& 3 \times 7 \times 2^4 \times 5^4 \\
A \cdot B &=& 3 \times 7 \times 2^2 \times 5^4 \cdots ② \\
\end{eqnarray}
②を満たす \( A \) のとりうる整数は
\begin{array}{cc}
\hline
因数 & とりうるパターン \\
\hline
3 & 0 ～ 1個（2 通り） \\
7 & 0 ～ 1個（2 通り） \\
2 & 0 ～ 2個（3 通り） \\
5 & 0 ～ 4個（5 通り） \\
\hline
\end{array}
上記に加え、すべて正、すべて負の2通りあるので、
$$ 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2 = 120（通り）\cdots（答） $$
上記は \( (A,B) \) の解の個数であり、すなわち \( (p,q) \) の解の個数である。
