\( n^3-7n+9 \) が素数となるような整数 \( n \) を全て求めよ。
【解説】
因数分解する、または余りを評価する、といった方法があります。方針が立たない場合、まずは実験してみましょう。
\begin{array}{c|c}
n & n^3-7n+9 \\
\hline
0 & 9 \\
1 & 3 \\
2 & 3 \\
3 & 15 \\
4 & 45
\end{array}
与えられた式は、\( 3 \) の倍数になりそうです。まずは \( 3 \) の倍数であることを証明すれば、\( 3 \) の倍数の中で素数は \( 3 \) のみとなります。
【解答】
\( n^3 -7n+9 \) を \( 3 \) で割った余りを考える。
i) \( n \equiv 0 ( \mod3 ) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^3 -7n+9 &=& 0^3 – 7 \times 0 + 9 \\
&=& 0
\end{eqnarray}
ii) \( n \equiv 1 ( \mod3 ) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^3 -7n+9 &=& 1^3 – 7 \times 1 + 9 \\
&=& 3 \\
&\equiv& 0
\end{eqnarray}
iii) \( n \equiv 2 ( \mod3 ) \) のとき
\begin{eqnarray}
n^3 -7n+9 &=& 2^3 – 7 \times 2 + 9 \\
&=& 3 \\
&\equiv& 0
\end{eqnarray}
i)～iii)より、\( n^3 -7n+9 \) は \( 3 \) で割り切れる、すなわち、\( 3 \) の倍数である。\( 3 \) の倍数のうち、素数となるのは、\( 3 \) のみだから、
\begin{equation}
n^3 -7n+9 = 3 \\
n^3 – 7n + 6 = 0 \\
(n-1)(n-2)(n+3) = 0 \\
∴n=1,2,-3 \cdots （答）
\end{equation}
【別解】
与えられた式を変形すると、\( 3 \) の倍数であることがすぐにわかります。
\begin{equation}
\begin{array}{l}
n^3 – 7n + 9 \\
\hspace{5pt} = n^3 – n – 6 n + 9 \\
\hspace{5pt} = (n-1)n(n+1) -3 (2n-3) \cdots ①
\end{array}
\end{equation}
連続する3つの整数のうち、1つは必ず \( 3 \) の倍数だから、(n-1)n(n+1)は \( 3 \) の倍数となる。したがって、①は3の倍数となる。あとは、上記と同じ方法で \( n \) を求めます。
