【問題】解と係数の関係（2021年成蹊大学）

【解説】

試験問題では、解と係数の関係式の値を求める際に必要な対称式の値（②、③）を事前に導出する問題があります。3次方程式の解と係数の関係を確実に使えるようにしたうえで、対称式の計算をできるようにしておきましょう。

【解答】

解と係数の関係より、
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{cll}
\alpha + \beta + \gamma &=& -2 \\
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &=& 3 \\
\alpha \beta \gamma &=& -4 \\
\end{array}
\cdots ① \right.
\end{equation}

\begin{eqnarray}
\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 &=& ( \alpha + \beta + \gamma )^2 – 2( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) \\
&=& (-2)^2 -2 \times 3 \\
&=& -2 \cdots ②
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2
&=& ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )^2 – 2 (\alpha \beta \cdot \beta \gamma + \beta \gamma \cdot \gamma \alpha + \gamma \alpha \cdot \alpha \gamma ) \\
&=& ( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )^2 -2 \alpha \beta \gamma ( \alpha + \beta + \gamma ) \\
&=& 3^2 -2 \times (-4) \times (-2) \\
&=& -7 \cdots ③
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 &=& ( \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 )^2 – 2( \alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 ) \\
&=& (-2)^2 -2 \times (-7) \\
&=& 18 \cdots ④
\end{eqnarray}
①～④の結果を使うと、
\begin{equation}
\begin{array}{l}
( \alpha^2+\beta^2 ) + ( \beta^2+\gamma^2 ) + ( \gamma^2+\alpha^2 ) \\
\ = 2 ( \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 ) \\
\ = 2 \times (-2) \\
\ = -4 \cdots ⑤ \\
\\
(\alpha^2+\beta^2)(\beta^2+\gamma^2)+(\beta^2+\gamma^2)(\gamma^2+\alpha^2)+(\gamma^2+\alpha^2)(\alpha^2+\beta^2) \\
\ = (\alpha^4+\beta^4+\gamma^4)+3(\alpha^2 \beta^2+\beta^2 \gamma^2+\gamma^2 \alpha^2) \\
\ = 18 +3 \times (-7) \\
\ = -3 \cdots ⑥ \\
\\
(\alpha^2+\beta^2)(\beta^2+\gamma^2)(\gamma^2+\alpha^2) \\
\ = (-2-\gamma^2) (-2-\alpha^2 )(-2-\beta^2) \\
\ = – \{ \alpha^2 \beta^2 \gamma^2 + 2(\alpha^2 \beta^2+\beta^2\alpha^2+\gamma^2\alpha^2) +4(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) + 8 \} \\
\ = – \{ (-4)^2 + 2 \times (-7) + 4 \times (-2) + 8 \} \\
\ = -2 \cdots ⑦ \\
\end{array}
\end{equation}
⑤⑥⑦から、解と係数の関係より、求める \( 3 \) 次方程式は、
$$ x^3+4x^2-3x+2=0 \cdots （答） $$