\( 2^n+1, \ 2^n-1\) がともに素数となる自然数 \( n \) を求めよ
すぐに答えがわからない場合は、いくつか値を入れて計算し、結果を予測しましょう。まずは実験ですね。
【実験】
\begin{array}{c|c|c}
n & 2^n+1 & 2^n-1 \\
\hline
1 & 3 & 1 \\
2 & 5 & 3 \\
3 & \underline{9} & 7 \\
4 & 17 & \underline{15} \\
5 & \underline{33} & 31 \\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{array}
となり、\( n \ge 3 \) では交互に \( 3 \) の倍数が出てくるため、ともに素数になることはなさそうです。
【解答】
\( mod3 \) を考えます。
\begin{eqnarray}
2^n + 1 & = & (3-1)^n + 1 \\
& \equiv & (-1)^n +1 \\
& = &
\begin{cases}
0 （nが奇数）\\
2 （nが偶数）\\
\end{cases} \\[10pt]
2^n – 1 & = & (3-1)^n – 1 \\
& \equiv & (-1)^n – 1 \\
& = &
\begin{cases}
-2 （nが奇数）\\
0 （nが偶数）\\
\end{cases} \\
& = &
\begin{cases}
1 （nが奇数）\\
0 （nが偶数）\\
\end{cases} \\
\end{eqnarray}
となり、\( 2^n+1, \ 2^n-1 \) のいずれか一方が \( 3 \) の倍数になる。\( 3 \) の倍数の中で素数 \( 3 \) だけだから、
\( 2^n-1=3 \) すなわち\( n=2 \) のとき、\( 2^n+1=5 \) となり、いずれも素数。
\( 2^n+1=3 \) すなわち\( n=1 \) のとき、\( 2^n-1=1 \) となり、素数ではない。
以上より、
$$ n=2 \cdots （答）$$
