二重根号、三重根号

二重根号とは

次のように「二重」に「根号」がついている値を二重根号、「三重」に「根号」がついている値を三重根号と言います。
$$ \sqrt{3-2 \sqrt{2}}, \ \ \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} $$

二重根号の外し方

実数a、b（a>b>0）に対して、a、bの和や積を使って以下の式が成り立つ。

これを使うと、以下のように変形できます。
\begin{eqnarray}
\sqrt{3-2 \sqrt{2}} & = & \sqrt{(2+1)-2 \sqrt{2 \cdot 1}} \\
& = & \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} \\
& = & \sqrt{2}-1
\end{eqnarray}

和と積から計算できますが、共役な値を考えて、対象式を使って計算できます。ちょっと面倒ですが、この方法を知っていると、3重根号の計算ができます。

\( \alpha = \sqrt{3+2 \sqrt{2}}, \ \ \beta = \sqrt{3-2 \sqrt{2}} \) とおくと、\begin{array}{l}
\alpha^2 + \beta^2 & = & (3+2 \sqrt{2})+(3-2 \sqrt{2}) \\
& = & 6 \\
\alpha \cdot \beta & = & \sqrt{(3+2 \sqrt{2})(3-2 \sqrt{2})} \\
& = & \sqrt{9-8} \\
& = & 1
\end{array}
ここで、
\begin{eqnarray}
\alpha^2 + \beta^2 & = & (\alpha +\beta)^2 – 2 \alpha \beta \\
6 & = & (\alpha +\beta)^2 – 2 \times 1 \\
(\alpha +\beta)^2 & = & 8 \\
∴\alpha + \beta & = & 2\sqrt{2} \cdots ① \quad (∵\alpha + \beta \gt 0)\\[10pt]
\alpha^2 + \beta^2 & = & (\alpha – \beta)^2 + 2 \alpha \beta \\
6 & = & (\alpha – \beta)^2 + 2 \times 1 \\
(\alpha – \beta)^2 & = & 4 \\
∴\alpha – \beta & = & 2 \cdots ② \quad (∵\alpha – \beta \gt 0)\\
\end{eqnarray}
①＋②より、
\begin{eqnarray}
2\alpha & = & 2\sqrt{2}+2 \\
\alpha & = & \sqrt{2}+1 \\
∴ \sqrt{3+2 \sqrt{2}} & = & \sqrt{2}+1
\end{eqnarray}
①ー②より、
\begin{eqnarray}
2\beta & = & 2\sqrt{2}-2 \\
\beta & = & \sqrt{2}-1 \\
∴ \sqrt{3-2 \sqrt{2}} & = & \sqrt{2}-1
\end{eqnarray}

三重根号の外し方

三重根号 \( \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} \) を求めます。

まず、\( \alpha = \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}, \ \ \beta = \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} \) とおくと、
\begin{array}{l}
\alpha^3 + \beta^3 & = & (5\sqrt{2}+7)+(5\sqrt{2}-7) \\
& = & 10\sqrt{2} \\
\alpha^3 – \beta^3 & = & (5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7) \\
& = & -14 \\
\alpha \cdot \beta & = & \sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} \\
& = & \sqrt[3]{50-49} \\
& = & 1
\end{array}
ここで、
$$ \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha +\beta )^3 – 3 \alpha \beta (\alpha + \beta) $$
だから、\( \alpha +\beta = t \) とおくと、
\begin{array}{c}
10 \sqrt{2} = t^3 -3t \\
t^3 -3t -10\sqrt{2} = 0 \\
(t-2\sqrt{2})(t^2+2\sqrt{2}t+5) = 0 \\
t = 2\sqrt{2} \cdots ③ \\
(∵t^2+2\sqrt{2}t+5 = (t+\sqrt{2})^2+3 \gt 0 )
\end{array}
また、
$$ \alpha^3 – \beta^3 = (\alpha – \beta )^3 + 3 \alpha \beta (\alpha – \beta) $$
だから、\( \alpha – \beta = u \) とおくと、
\begin{array}{c}
-14 = u^3 + 3u \\
u^3 + 3u + 14 = 0 \\
(u+2)(u^2-2u+7) = 0 \\
t = -2 \cdots ④ \\
(∵u^2-2u+7 = (u-1)^2+6 \gt 0 )
\end{array}
よって、③＋④より
\begin{eqnarray}
2\alpha & = & 2\sqrt{2}+2 \\
\alpha & = & \sqrt{2}+1 \\
∴ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} & = & \sqrt{2}+1
\end{eqnarray}