自然数 \( a \) を \( 7 \) で割った余りを \( R(a) \) と書くことにする。このとき以下の問いに答えよ。
（1）すべての自然数 \( n \) に対して \( R(2^{n+3})=R(2^n) \) となることを示せ。
（2）\( R(2^{2017}) \) を求めよ。
（3）自然数 \( m \) が \( R(2^{2017}m+2^{29})=5 \) を満たすとき、\( R(m) \) の値を求めよ。
解答
（1）\( \mod 7 \) を考える。
\begin{eqnarray}
2^{n+3} &=& 2^3 \cdot 2^n = 8 \cdot 2^n \\
&\equiv& 1 \cdot 2^n = 2^n \\
\end{eqnarray}
だから
$$ R(2^{n+3})=R(2^n) \cdots （証明終了） $$
（2）（1）の結果より
\begin{eqnarray}
2^{2017} &=& 2^{3\times672+1} \equiv 2^{3\times671+1} \\
&\equiv& 2^{3\times670+1} \equiv \cdots \equiv 2^1 = 2 \\
∴R(2^{2017}) &=& 2 \cdots （答）
\end{eqnarray}
（3）\( R(2^{2017}m+2^{29})=5 \) より
$$ 2^{2017}m+2^{29} = 7k+5 \hspace{5pt}（kは整数）\cdots ① $$
ここで
$$ 2^{29}=2^{3\times9+2} \equiv 2^2=4 $$
となり、\( 2^{2017}-2, \ 2^{29}-4 \) は \( 7 \) の倍数となる。①より
\begin{equation}
(2^{2017}-2)m+2m+(2^{29}-4)+4=7k+5 \\
(2^{2017}-2)m+(2^{29}-4)=7k-(2m-1) \cdots ②
\end{equation}
②の左辺は \( 7 \) の倍数だから、右辺も \( 7 \) の倍数となるので、
\begin{equation}
2m-1=7l \hspace{5pt} （lは整数）\\
2m-1=7(l-1)+7 \\
2(m-4)=7(l-1) \\
\end{equation}
\(2, \ 7 \) は互いに素だから、\( m-4 \) は \( 7 \) の倍数となるので、
$$ R(m)=4 \cdots（答） $$
