【問題】対数問題（2022年京都大学）

【解説】

京都大学で出題された問題ですが、標準的な常用対数を使った問題です。\( \log_{10}2 \) が与えられていますので、\( 2000 \) を \( 2, 5, 10 \) で表現できる値と大小比較する方法を考えます。
\begin{eqnarray}
\log_{10} 10 &=& 1 \\
\log_{10} 5 &=& \log_{10} \frac{10}{2} = 1 – \log_{10} 2
\end{eqnarray}
今回の問題では、\( 2000 < 2022 < 2048 \) とできれば計算できます。

【解答】

\( 2000 < 2022 < 2048 \) だから、
\begin{eqnarray}
\log_4 2022 &<& \log_4 2048 \\
&=& \frac{\log_2 2^{11}}{\log_2 4} \\
&=& \frac{11}{2} \\
&=& 5.5 \cdots ①
\end{eqnarray}
また
\begin{eqnarray}
\log_4 2022 &>& \log_4 2000 \\
&=& \frac{\log_{10} 2 \times 10^3}{\log_{10} 4} \\
&=& \frac{3+\log_{10} 2}{2 \log_{10} 2} \\
&=& \frac{1}{2}+\frac{3}{2 \log_{10} 2} \\
&>& 0.5 + \frac{3}{2 \times 0.3011} \\
&=& 0.5 + 4.98\cdots \\
&=& 5.48\cdots \\
&>& 5.4 \cdots ②
\end{eqnarray}
①②より
\begin{eqnarray}
5.4 < \log_4 2022 < 5.5 \\
（証明終了）
\end{eqnarray}