2021年 産業医科大学
和が \( 96 \)、最大公約数が \( 24 \) となる \( 2 \) 個の自然数 \( a,b ( a \le b ) \) の組を求めよ。
【解説】
最大公約数を扱った問題です。こちらの問題もお試しください。
【解答】
最大公約数が \( 24 \) であるから、
\begin{eqnarray}
&& a = 24a^{\prime} \\
&& b = 24b^{\prime} \\
\end{eqnarray}
となる。ただし、\( a^{\prime}, b^{\prime} \) は互いに素な自然数で、\( a^{\prime} \le b^{\prime} \cdots ① \) である。
次に \( a,b \) の和が \( 96 \) だから、
\begin{eqnarray}
24a^{\prime} + 24b^{\prime} &=& 96 \\
a^{\prime} + b^{\prime} &=& 4 \cdots ②
\end{eqnarray}
①②を満たす\( a^{\prime}, b^{\prime} \) は、
$$ (a^{\prime},b^{\prime}) = (1,3) $$
よって
$$ (a,b) = (24,72) \cdots （答）$$
