【問題】不等式証明（1997年大阪教育大学）

【解説】

不等式を証明する問題です。三角不等式、相加相乗平均を使って証明することができます。本問題のように三角不等式の右側を利用することが多いですね。

【解答】

\begin{eqnarray}
（左辺） &=& \left| \frac{(y^2+4)-(x^2+4)}{(x^2+4)(y^2+4)} \right| \\
&=& \left| \frac{(x-y)(x+y)}{(x^2+4)(y^2+4)} \right| \\
&=& \frac{|x+y|}{(x^2+4)(y^2+4)} |x-y|
\end{eqnarray}
だから
$$ \frac{|x+y|}{(x^2+4)(y^2+4)} \le \frac{1}{8} \cdots ① $$
を示せばよい。
三角不等式より
$$ |x+y| \le |x|+|y| \cdots ② $$
相加相乗平均より
\begin{equation}
\frac{x^2+4}{2} \ge \sqrt{x^2 \times 4} = 2|x| \\
∴ |x| \le \frac{x^2+4}{4} \cdots ③ \\
\end{equation}
同様にして
$$ |y| \le \frac{y^2+4}{4} \cdots ④ $$
②③④より
\begin{eqnarray}
|x+y| & \le & \frac{x^2+4}{4} + \frac{y^2+4}{4} \\
∴\frac{|x+y|}{(x^2+4)(y^2+4)} & \le & \frac{\frac{x^2+4}{4}+\frac{y^2+4}{4}}{(x^2+4)(y^2+4)} \\
& = & \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x^2+4} + \frac{1}{y^2+4} \right) \\
& \le & \frac{1}{4} \left( \frac{1}{0^2+4} + \frac{1}{0^2+4} \right) \\
& = & \frac{1}{8}
\end{eqnarray}
よって①が成り立つので、題意は成り立つ（証明終了）。