\( e^{\pi} \) と \( \pi^e \) の大小を比較せよ。
【解説】
関数を使って大小を比較します。対数をとって比較することはすぐに思いつくでしょう。\( e \times \pi \) で割ると関数表現できますので、このあたりがポイントでしょうか。計算自体は簡単ですね。
【解答】
\( e^{\pi} \) と \( \pi^e \) はいずれも正だから、対数をとって大小を比較する。
\begin{eqnarray}
\log e^{\pi} – \log \pi^e &=& \pi \log e – e \log \pi \\
&=& \pi e \left( \frac{\log e}{e} – \frac{\log \pi}{\pi} \right) \cdots ①
\end{eqnarray}
ここで
$$ f(x) = \frac{\log x}{x} \ (x>0) $$
を考える。
\begin{eqnarray}
f^{\prime}(x) &=& \frac{(\log x)^{\prime} \cdot x – \log x \cdot (x)^{\prime}}{x^2} \\
&=& \frac{1-\log x}{x^2}
\end{eqnarray}
\( f^{\prime}(x) = 0 \) のとき、\( \log x = 1 \Leftrightarrow x=e \) だから、
\begin{equation}
\begin{array}{c|cccc}
\hline
x & 0 & \cdots & e & \cdots \\
\hline
f^{\prime}(x) & ／ & + & 0 & – \\
\hline
f(x) & ／ & \nearrow & 極大 & \searrow \\
\hline
\end{array}
\end{equation}
\( f(x) \) は \( x \ge e \) で減少関数となる。\( e < \pi \) だから \( f(e) > f(\pi) \) となるので、①より
\begin{equation}
\log e^{\pi} – \log \pi^e = \pi e \left\{ f(e) – f(\pi) \right\} > 0 \\
∴ \log e^{\pi} > \log \pi^e \\
e^{\pi} > \pi^e \cdots （答）
\end{equation}
