\( 4 \) つの実数 \( \displaystyle \alpha=\log_2 3, \ \beta=\log_3 5, \ \gamma=\log_5 2, \ \delta=\frac{3}{2} \) とおく。以下の問いに答えよ。
（１） \( \alpha \beta \gamma = 1 \) を示せ
（２） \( \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta \) を小さい順に並べよ。
（３） \( \displaystyle p=\alpha+\beta+\gamma, \ q=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} \) とし、\( f(x)=x^3+px^2+qx+1 \) とする。 このとき \( \displaystyle f\left(-\frac{1}{2}\right), \ f(-1), \ f\left(-\frac{3}{2}\right) \) の正負を判定せよ。
【解説】
（１）は対数の大小を比較する問題です。底を揃えると比較できます。（２）ではおおよその大小の順を想定し、引き算で最小を比較しましょう。（３）では3次方程式の解と係数の関係から、\( (x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma) \) と因数分解できることがわかれば、簡単に正負の判定ができます。
【解答】
（１）
\begin{eqnarray}
\alpha \beta \gamma &=& \log_2 3 \times \frac{\log_2 5}{\log_2 3} \times \frac{1}{\log_2 5} \\
&=& 1 \cdots （答）
\end{eqnarray}
（２）
\begin{equation}
\gamma = \log_5 2 < \log_5 5 = 1 \\
\beta = \log_3 5 > \log_3 3 =1 \\
∴ \gamma < 1 < \beta \cdots ①
\end{equation}
次に
\begin{eqnarray}
\alpha – \delta &=& \log_2 3 – \frac{3}{2} \\
&=& \log_2 \sqrt{9} – \log_2 \sqrt{8} \\
&>& 0 \\
∴ && \alpha > \delta \cdots ② \\[10pt]
\beta – \delta &=& \log_3 5 – \frac{3}{2} \\
&=& \log_3 \sqrt{25} – \log_3 sqrt{27} \\
&<& 0 \\
∴ && \beta < \delta \cdots ③
\end{eqnarray}
①～③より
\begin{equation}
\gamma < 1 < \beta < \delta = \frac{3}{2} < \alpha \\
\gamma < \beta < \delta < \alpha \cdots （答）
\end{equation}
（３）
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
p=\alpha+\beta+\gamma & \cdots ① \\
q=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} & \cdots ② \\
f(x)=x^3+px^2+qx+1 & \cdots ③
\end{array}
\right.
\end{equation}
\( \alpha \beta \gamma = 1 \) だから②より
\begin{eqnarray}
q &=& \left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} \right) \times \alpha \beta \gamma \\
&=& \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha \cdots ④
\end{eqnarray}
①④を③に代入すると
\begin{equation}
\begin{array}{l}
f(x) \\
\hspace{10pt} = x^3+(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma \alpha)x+\alpha\beta\gamma \\
\hspace{10pt} = (x+\alpha)(x+\beta)(x+\gamma) \cdots ⑤
\end{array}
\end{equation}
⑧に \( x=-\frac{1}{2} \) を代入すると
$$ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\alpha-\frac{1}{2}\right)\left(\beta-\frac{1}{2}\right)\left(\gamma-\frac{1}{2}\right) $$
（２）より \( \alpha-\frac{1}{2}>0, \ \beta-\frac{1}{2}>0, \ \gamma-\frac{1}{2}>0 \) だから
$$ f\left(-\frac{1}{2}\right) > 0 \cdots （答） $$
⑧に \( x=-1 \) を代入すると
$$ f(-1) = (\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) $$
（２）より \( \alpha-1>0, \ \beta-1>0, \ \gamma-1<0 \) だから
$$ f(-1) < 0 \cdots （答） $$
⑧に \( x=-\frac{3}{2} \) を代入すると
$$ f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(\alpha-\frac{3}{2}\right)\left(\beta-\frac{3}{2}\right)\left(\gamma-\frac{3}{2}\right) $$
（２）より \( \alpha-\frac{3}{2}>0, \ \beta-\frac{3}{2}<0, \ \gamma-\frac{3}{2}<0 \) だから
$$ f\left(-\frac{3}{2}\right) > 0 \cdots （答） $$
