\( 3 \) つの数 \(2, m^2+1, m^2+4 \) が相異なる素数となる正の整数 \( m \) が \( 1 \) つ固定されているものとする。以下の問いに答えよ。
（１） \( 3 \) つの数 \(2, m^2+1, m^2+4 \) のうち、\( 1 \) つを\( a \) とし、残り \( 2 \) つを \( b,c \) とする。このとき、\( a^2 < bc \) となる \( a \) をすべて求めよ。
（２） 正の整数 \( x,y \) が \( (x+y)(x^2+2y^2+2xy)=2(m^2+1)(m^4+1) \) を満たしてるとき \( x, y \) を求めよ。
【解説】
素数を使った整数問題です。（１）（２）の関係がわかりづらいですね。無理に（1）の結果を使おうとすると混乱してしまいますので、注意しましょう。
（２）では素数の性質が重要になります。素数は「１より大きい、1と自分自身以外に約数を持たない正の整数」です。
（１）は素数条件は使いません。あらかじめ大小関係を示しておくと、計算量を抑えることができます。
【解答】
（１） \(2, m^2+1, m^2+4 \) は相異なる素数だから、
$$ m^2+1 \ne 2 \Leftrightarrow m \ne 1 $$
となり、\( m \) は整数だから、\( m \ge 2 \) となるので、
$$ 2 < m^2+1 < m^4+1 \cdots ① $$
ここで \( a^2 < bc \) だから、\( a \) のとりうる値は、\( 2,m^2+1 \) のいずれか。
i) \( a=2 \) のとき
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
a^2=2^2 \\
bc=(m^2+1)(m^4+1)
\end{array}
\right. \cdots ②
\end{equation}
①より
\begin{equation}
2 \times 2 < (m^2+1)(m^4+1)
\end{equation}
となり、\( a^2 < bc \) は常に成り立つ。
ii) \( a=m^2+1 \) のとき
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
a^2=m^2+1 \\
bc=2(m^4+1)
\end{array}
\right. \cdots ③
\end{equation}
③を \( a^2 < bc \) に代入すると、
\begin{equation}
(m^2+1)^2 < 2(m^4+1) \\
m^4+2m^2+1 < 2m^4+2 \\
m^4-2m^2+1 > 0 \\
(m^2-1)^2 > 0 \cdots ④
\end{equation}
ここで \( m \ge 2 \) であり \( m^2-1 \ge 2^2-1 =3 \) だから、④は常に成り立つ。
i),ii)より求める \( a \) の値は、
$$ a=2,m^2+1 \cdots （答） $$
（２）
$$ (x+y)(x^2+2y^2+2xy)=2(m^2+1)(m^4+1) \cdots ⑤ $$
⑤より \( x+y \) は \(2, m^2+1, m^4+1 \) のいずれかを因数にもつ。
ここで
$$ x^2+xy^2+2xy = (x+y)^2+y^2 > (x+y)^2 \cdots ⑥ $$
だから、（１）の結果より \( x+y \) が \( m^4+1 \) となることない。考えられる組み合わせは、
\begin{equation}
\begin{array}{cl}
（Ⅰ）& \left\{
\begin{array}{ll}
x+y=2 & \cdots ⑦ \\
x^2+2y^2+2xy =(m^2+1)(m^4+1) & \cdots ⑧
\end{array}
\right. \\[10pt]
（Ⅱ）& \left\{
\begin{array}{ll}
x+y=m^2+1 & \cdots ⑨ \\
x^2+2y^2+2xy =2(m^4+1) & \cdots ⑩ \\
\end{array}
\right. \\[10pt]
（Ⅲ）& \left\{
\begin{array}{ll}
x+y=2(m^2+1) & \cdots ⑪ \\
x^2+2y^2+2xy =m^4+1 & \cdots ⑫
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{equation}
（Ⅰ）のとき
\( x,y \) は正の整数で \( x \ge 1, y \ge 1 \) だから⑦より、
$$ x=y=1 $$
これを⑧に代入すると
$$ 5 = (m^2+1)(m^4+1) \cdots ⑬ $$
\( m \ge 2 \) だから （右辺）\( \ge (2^2+1)(2^4+1) = 5\times17=85 \) となり、⑬を満たす \( m \) は存在しない。
（Ⅱ）のとき
⑩より
\begin{eqnarray}
(x+y)^2+y^2 &=& 2(m^4+1) \\
(m^2+1)^2+y^2 &=& 2(m^4+1) （∵⑨を代入）\\
y^2 &=& m^4-2m^2+1 \\
&=& (m^2-1)^2 \\
y &=& m^2-1 （∵y\ge1,m2-1\ge3）\\
⑨に代入すると && \\
x+(m^2-1) &=& m^2+1 \\
x &=& 2
\end{eqnarray}
$$ ∴(x,y)=(2,m^2-1) $$
（Ⅲ）のとき
⑫より
\begin{eqnarray}
(x+y)^2+y^2 &=& m^4+1 \\
4(m^2+1)^2+y^2 &=& m^4+1 （∵⑪を代入）\\
y^2 &=& -3m^4-8m^2-3 \cdots ⑭
\end{eqnarray}
⑭の右辺は負だから⑭を満たす \( y \) は存在しない
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）より求める \( x,y \) の値は、
$$ (x,y)=(2,m^2-1) \cdots （答） $$
