【問題】1/(2+sinα) + 1/(2+sin2β) = 2 のとき、|α+β-8π|の最小値を求める

与えられた式から \( \alpha、\beta \) の関係式を求めようとしてしまいますね。三角関数がとりうる値の範囲を考えると、与えられた式がある特定の条件の時にしか成り立たないことがわかります。

【解答】
\begin{equation}
-1 \le \sin \alpha \le 1 \\
1 \le 1+\sin \alpha \le 3 \\
\frac{1}{3} \le \frac{1}{2 + \sin \alpha} \le 1 \cdots ①
\end{equation}
\begin{equation}
-1 \le \sin 2\beta \le 1 \\
1 \le 1+\sin 2\beta \le 3 \\
\frac{1}{3} \le \frac{1}{2 + \sin 2\beta} \le 1 \cdots ②
\end{equation}
①②より
\begin{equation}
\frac{2}{3} \le \frac{1}{2+\sin \alpha} + \frac{1}{2+\sin 2 \beta} \le 2 \cdots ③
\end{equation}
ここで、 \( \displaystyle \frac{1}{2+\sin \alpha} + \frac{1}{2+\sin 2 \beta} = 2 \) となるのは、③の右側の等号が成立するときだから、
$$ \frac{1}{2+\sin \alpha}=1,\ \frac{1}{2+\sin 2 \beta}=1 $$
すなわち、
$$ \sin \alpha =-1,\ \sin 2 \beta=-1 $$
となる。よって、
\begin{eqnarray}
\sin \alpha &=& -1 \\
∴\alpha &=& \frac{3}{2}\pi + 2k \pi （k：整数）\cdots ④ \\
\\
\sin 2\beta &=& -1 \\
∴2\beta &=& \frac{3}{2}\pi + 2l \pi \\
\beta &=& \frac{3}{4}\pi + l \pi （l：整数）\cdots ⑤ \\
\end{eqnarray}
④⑤より
\begin{eqnarray}
| \alpha + \beta -8 \pi | &=& \left| \left( \frac{3}{2}\pi + 2k \pi \right) + \left( \frac{3}{4}\pi + l \pi \right) -8\pi \right| \\
&=& \left| (2k + l -8) + \frac{9}{4} \right| \pi \\
&=& \left| (2k + l -6) + \frac{1}{4} \right| \pi \cdots ⑥ \\

\end{eqnarray}
⑥は \( 2k+l-6=0 \) のとき、最小値 \( \displaystyle \frac{1}{4}\pi \) となる。